Question

【题目】定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．

（1）如图①，平行四边形中，对角线平分，将线段绕点旋转一个角度至，连接．

①求证：四边形是三等边四边形；

②如图②，连接，．求证：；

（2）如图，在（1）的条件下，设与交于点，，，，求以，和为边的三角形的面积．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）

【解析】

（1）①先证明四边形是菱形，得到，根据旋转性质得到，问题得证；

②如图②，延长至点，得到，得到，根据菱形性质得到，问题得证；

（2）如图③，连接，，与交于点，过点作于点，先求出长度，判断以为边的三角形为直角三角形，计算面积即可．

解：（1）①证明：如图①，∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵半分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四边形是菱形，

∴．

∵，

∴，

∴四边形是三等边四边形．

②证明：如图②，延长至点，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∵四边形是菱形，

∴，

∴．

（2）如图③，连接，，与交于点，过点作于点，

∵四边形是菱形，∴，，，．

在中，，，

∴，

∴，，

∴．

∵，∴，∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴．

在中，，

∴，即，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

．

∵垂直平分，∴，

∴，

∴，

∴以为边的三角形为．