Question

【题目】如图，抛物线的顶点为，一直线经过抛物线上的两点和．

（1）求抛物线的解析式和的值．

（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点）是否存在点，使得面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，，理由见解析（3）或或或

【解析】

（1）根据顶点设抛物线为：，利用待定系数法求解抛物线即可；

（2）先求解的解析式，过点作轴的平行线交于点，设点，写出的坐标，建立面积与的函数关系式，利用二次函数的性质得到答案．

（3）分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1） 抛物线的顶点为，

设二次函数表达式为：

将点的坐标代入上式：

解得：

故抛物线的表达式为：

把代入上式，得

（2）存在，理由：设表达式

将代入

，

解得：

直线为：

二次函数对称轴为：，

过点作轴的平行线交于点

设点，点

则

时，有最大值，这时点；

（3）设点、点，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，

即：，而，

解得：或

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，而

解得：

故点或；

综上，点或或或