Question

5．如图，线段AB与CD相交于点E，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C．
（1）如图1，若AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段DE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠B=∠C=90°，根据直角三角形的性质得到DE=2BE，根据三角形的内角和得到∠A=∠D=30°，得到AE=2CE，由AB=CD，等量代换即可得到结论；
（2）连接AD，延长AC、BD交于F，根据已知条件得到∠CAE=∠BDE=22.5°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=45°，求得∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°，推出△ACD≌△FCD，即可根据全等三角形的性质得到AC=CF，AF=DE，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）DE=2CE，
理由：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠BDE=30°，
∴DE=2BE，
∵∠AEC=∠BED，
∴∠A=∠D=30°，
∴AE=2CE，
∵AB=CD，
∴AE+BE=CE+DE，
∴2CE+$\frac{1}{2}$DE=CE=DE，
即DE=2CE；

（2）DE=2AC，
理由：连接AD，延长AC、BD交于F，
∵∠ACE=∠DBE=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠BDE=22.5°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°，
在△ACD与△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠FCD=90°}\\{CD=CD}\\{∠ADC=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FCD，
∴AC=CF，
在△ABF与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ABD}\\{AB=BD}\\{∠BAF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DBE，
∴AF=DE，
∵AF=2AC，
∴DE=2AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．