Question

已知：如图，把Rt△ABC放在直角坐标系中，A（0，4）B（-5，0），点D在BC上，且CD=3，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1个单位/秒的速度沿y轴负方向移动，点Q以

5

4

个单位/秒的速度沿x轴正方向移动，过点P作平行x轴交AD于点E，连结EQ，设动点运动时间为x秒．
（1）直接写出的PC长度；
（2）当点Q在线段BD上运动时，当x为何值时，△EDQ的面积是△ACD面积的

3

16

？
（3）问：在x轴上是否存在一个点Q，使得△EDQ是直角三角形？若存在，试求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据点P以1个单位/秒的速度沿y轴负方向移动，AO=4，即可直接得出PC；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，先求出BQ=

5

4

x，BD=2，得出DQ=2-

5

4

x，再根据PE∥x轴，得出EM的值，再根据三角形的面积公式求出S_△EDQ和S_△ACD的值，最后根据△EDQ的面积是△ACD面积的

3

16

，得出

5

8

x²-

7

2

x+4=

3

16

×6，求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当∠EQD=90°时，根据EQ∥AC，得出

EQ

AC

=

DQ

DC

，再代入求出x的值；②当∠QED=90°时，得出△EDQ∽△CDA，

ED

CD

=

DQ

DA

，再根据△AEP∽△ADC，得出AE=

5

4

x，最后代入求出x的值．

解答：解：（1）∵点P以1个单位/秒的速度沿y轴负方向移动，
∴AP=x，
∵A点的坐标是（0，4），
∴AO=4，
∴PC=4-x；
（2）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
∵点Q以

5

4

个单位/秒的速度沿x轴正方向移动，
∴BQ=

5

4

x，
∵B点的坐标是（-5，0），CD=3，
∴BD=2，
∴DQ=2-

5

4

x，
∵PE∥x轴，
∴EM=PC=4-x，
∴S_△EDQ=

1

2

QD•EM=

1

2

（2-

5

4

x）（4-x）=

5

8

x²-

7

2

x+4，
∵S_△ACD=

1

2

CD•AC=

1

2

×4×3=6，
若△EDQ的面积是△ACD面积的

3

16

，
则

5

8

x²-

7

2

x+4=

3

16

×6，
解得：x₁=1，x₂=

23

5

（舍去），
当点Q在线段BD上运动时，当x为1时，△EDQ的面积是△ACD面积的

3

16

；

（3）分两种情况讨论：
①如图2，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，
∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，
即

4-x

4

=

5 4 x-2

3

，
解得x=2.5
②如图3，当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

ED

CD

=

DQ

DA

，
∵△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，
∴

AE

5

=

x

4

，
∴AE=

5

4

x，
∴ED=5-

5

4

x，
∴

5- 5 4 x

3

=

5 4 x-2

5

，
解得x=3.1，
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况讨论．