Question

如下图所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并两向延长，交圆于P和Q两点．求证PM＝NQ．

Answer 1

答案：
解析：

证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ，连接OM，ON．∵M，N分别是弦AB，AC的中点， 　　∴OM⊥AB，ON⊥AC． 　　又∵AB＝AC，∴OM＝ON． 　　∵OH⊥MN，∴MH＝HN． 　　∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ． 　　分析：欲证PM＝NQ，由PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ．现只需证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON．故原结论可证． 　　小结：本例反复运用垂径定理及其推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的作用．