Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴l为直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方有一点P，连接PA后满足∠PAB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求当S＝10.5时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于C′、B′两点（C′在B′的左侧），若以点C′、B′、P为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）点P（2，6）；（3）19或32

【解析】

（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法即可得出结论；

（2）先确定出直线AP的解析式，进而用m表示点P的坐标，即可求出S与m的函数关系，即可求出答案；

（3）先确定出点P的坐标，当∠B'PC'=90°时，利用根与系数的关系确定出B'C'的中点E的坐标，利用B'C'=2PE建立方程求解，当∠PC'B'=90°时，先确定出点G的坐标，进而求出直线C'G的解析式，进而得出点C'的坐标，即可得出结论．

解：（1）∵B（3，0），对称轴为直线x＝，

∴A（﹣2，0），

∴抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3）＝ax2﹣ax﹣6a，

∵B（3，0），

∴OB＝3，

∵OC＝OB，

∴OC＝3，

∴C（0，﹣3），

把C（0，﹣3）代入y＝a（x+2）（x﹣3），

得：﹣6a＝﹣3，

∴a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；

（2）如图1，射线AP与y轴的交点记作点C'，

∵∠BAC＝∠BAC'，OA＝OA，∠AOC＝∠AOC'＝90°，

∴△AOC≌△AOC'（ASA），

∴OC'＝OC＝3，

∴C'（0，3），

∵A（﹣2，0），

设直线AP的解析式为y＝kx+b，

把A，C'两点代入得，

解得：，

∴直线AP的解析式为y＝x+3，

∵点P（m，n）在直线AP上，

∴n＝m+3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC的解析式为y＝k1x﹣3，

∴0=3k1﹣3，

解得：k1=1，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

过点P作y轴的平行线交BC于F，

∴F（m，m﹣3），

∴PF＝m+3﹣（m﹣3）＝m+6，

∴S＝S△PBC＝OBPF＝×3（m+6）＝m+9（m＞﹣2）；

∴当S＝10.5时，10.5＝m+9，

∴m＝2，

∴点P（2，6）；

（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3①

由（2）知，直线AP的解析式为y＝x+3②，

联立①②解得，或，

∴P（6，12），

如图2，

当∠C'PB'＝90°时，取B'C'的中点E，连接PE，

则B'C'＝2PE，即：B'C'2＝4PE2，

设B'（x1，y1），C'（x2，y2），

∵直线B'C'的解析式为y＝x+t③，

联立①③化简得，x2﹣3x﹣（2t+6）＝0，

∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣（2t+6），

∴点E（，+t），

B'C'2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝2（x1﹣x2）2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝2[9+4（2t+6）]＝16t+66，

而PE2＝（6﹣）2+（12﹣﹣t）2＝t2﹣21t+，

∴16t+66＝4（t2﹣21t+），

∴t＝6（此时，恰好过点P，舍去）或t＝19，

当∠PC'B'＝90°时，延长C'P交BC于H，交x轴于G，

则∠BHC＝90°，

∵OB＝CO，∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝45°，

∴∠PGO＝45°，

过点P作PQ⊥x轴于Q，则GQ＝PQ＝12，

∴OG＝OQ+GQ＝18，

∴点G（18，0），

∴直线C'G的解析式为y＝﹣x+18④，

联立①④解得或，

∴C'的坐标为（﹣7，25），

将点C'坐标代入y＝x+t中，得25＝﹣7+t，

∴t＝32，

即：满足条件的t的值为19或32．