Question

【题目】如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P．

（1）求证：PC=PE；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）若AB＝10，AD＝2，AE＝，求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）PC=

【解析】

（1）由等角对等边，即可得到结论成立；

（2）连接OC，则∠AED+∠OAC=90°，结合（1）的结论，得到PC⊥OC，即可得到结论成立；

（3）由题意，先求出DE的长度，然后由△ABC∽△AED，求出BC，从而得到AC，再由相似三角形的性质，即可求出PC的长度．

证明：（1）∵∠AED=∠CEP，∠ECP＝∠AED，

∴∠ECP=∠CEP，

∴PC=PE．

（2）如图，连接OC，则OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵PD⊥AB，

∴∠AED+∠OAC=90°，

由（1）知∠ECP+∠OCA=∠ECP+∠OAC=90°即PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切线．

（3）解：∵PD⊥AB，在Rt△AED中，

∴DE=，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ABC∽△AED，

∴，把AB＝10，AE＝，DE＝代入，

∴

∴BC=6，

由勾股定理求得：AC=8．

∵∠PCE+∠OCE=∠OCB+∠OCE=90°，

∴∠PCE=∠OCB，

由（2）知等腰△PCE∽△OCB，有，

即，

∴PC=．