Question

【题目】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为，点C的坐标为．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点M为线段上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形的周长最大时，求的面积；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线交于点G（点G在点F的上方）．若，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用对称性可求点Q（-2-x，-x2-2x+3），可求MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，则可用x表示矩形PMNQ的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ的周长最大时，点P的坐标，即可求点E，点M的坐标，由三角形面积公式可求解；
（Ⅲ）先求出点D坐标，即可求DQ=，可得FG=4，设F （m，-m2-2m+3），则G （m，m+3），用含有m的式子表示FG的长度即可求解．

解:（Ⅰ）依题意

解得

所以

（Ⅱ）

抛物线的对称轴是直线

，，其中

∵P、Q关于直线对称

设Q的横坐标为a

则

∴

∴

∴，

∴周长

当时，d取最大值，此时，

∴

设直线的解析式为

则，解得

∴设直线的解析式为

将代入，得

∴，

∴

∴

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形的周长最大时，此时点，与点C重合，

∴

∵

∴

过D作轴于K，

则，

∴

∴是等腰直角三角形，

∴

设，则

∴，解得，

当时，

当时，．

∴或