Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，且是的中点，点的坐标为.点在线段上从点向点运动，同时点在线段上从点向点运动，且.

（1）求的长及点的坐标.

（2）作交于点，作交于点，连结，，设.

①在，相遇前，用含的代数式表示的长.

②当为何值时，与坐标轴垂直.

（3）若交轴于点，除点与点重合外，的值是否为定值，若是，请直接写出的值，若不是，请直接写出它的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）BC=10，B（3,4）；（2）①；②和；（3）为定值；

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，设点B的坐标为，再利用勾股定理进行求解即可；

（2）①由勾股定理求出AB，AC的长，进而求出的值，再利用三角函数求解CE，CF的长即可得出EF的长；

②分两种情况讨论，当与轴垂直、与x轴垂直，根据相似三角形的性质进行求解即可；

（3）作辅助线如图所示，根据，利用三角函数分别表示出CR和PI，进而表示出FN和PM即可求出．

（1）作，如图，

设点坐标为，

∵点O是BC的中点，△ABC是直角三角形，

∴OA=OB=OC，

由勾股定理得：，

∴，

∴点的坐标为

∴OB=5，

∴BC=10，

（2）①解：在中，，，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

，

∴.

②1.当与轴垂直时，则，如图，

∴，

∴，

∴，

∴.

2.当与轴垂直时，则轴，如图，

∴，作，

∵点与点关于点中心对称，

∴，

∴，，

又，

∴

∴，

∴，

∴

综上所述：当和时，与坐标轴垂直.

（3）为定值.

过点F作FR∥y轴，FN∥x轴,过点C作CK∥x轴，交FR于点R，CH∥y轴,过点P作MI∥x轴,如图所示，

在Rt△BKC中，CK=6，BK=8，

∴，

在Rt△FRC中，

CR==，

∴FN=，

在Rt△CHA中，,

在Rt△CPI中，PI=，

∴，

∵PM∥FN，

,

故为定值．