Question

8．已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=2x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，点P（m，n）是线段AB上一点，且OP平分∠AOB，双曲线y=$\frac{2}{x}$与直线y=2x+b（b＞0）在第一象限的交点为点M，若S_△MOP=3S_△AOP，求b的值．

Answer 1

分析 作PG⊥x轴于G，PN⊥y轴于N，MH⊥y轴于H，根据角平分线的性质定理可知PG=PN，从而求得n=-m，根据直线解析式求得A、B的坐标，得出OA、OB的值，进而得出2S_△AOP=S_△BOP，由S_△MOP=3S_△AOP，得出2S_△MOP=S_△BOP，从而求得MH=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{1}{2}$n=-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{6}$b，代入反比例函数的解析式求得M点的坐标，把M的坐标代入直线的解析式得出关于b的方程，解方程即可求得b的值．

解答 解：如图，作PG⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，MH⊥y轴于H，
∵OP平分∠AOB，
∴PG=PN，
∵P（m，n），
∴n=-m，
∴-m=2m+b，
∴m=-$\frac{1}{3}$b，
∵直线y=2x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（-$\frac{b}{2}$，0），B（0，b），
∴OB=2OA，
∴2S_△AOP=S_△BOP，
∵S_△MOP=3S_△AOP，
∴2S_△MOP=S_△BOP
∴MH=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{1}{2}$n=-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{6}$b，
∴M的横坐标为$\frac{1}{6}$b，代入y=$\frac{2}{x}$得y=$\frac{12}{b}$，
∴M（$\frac{b}{6}$，$\frac{12}{b}$），
∵M是直线y=2x+b上的点，
∴$\frac{12}{b}$=2×$\frac{b}{6}$+b，
解得b=±3，
∵b＞0，
∴b=3．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，角平分线的性质定理，三角形面积等，交点坐标适合两个解析式是本题的关键．