Question

13．如图，直线l与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于B，C两点，与x轴交于点A，连接BO，△AOB的面积为6．
（1）若B、C两点的横坐标分别为1、3，求k的值；
（2）若B、C两点的横坐标分别为a、2a，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到B（1，k），B（3，$\frac{k}{3}$），则OD=1，DE=2，BD=3CE，根据三角形相似对应边成比例，得到AE=1，然后根据三角形面积公式计算k的值．
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到B（a，$\frac{k}{a}$），B（2a，$\frac{k}{2a}$），则OD=a，DE=a，BD=2CE，所以CE为△ABD的中位线，得到AE=DE=a，然后根据三角形面积公式计算k的值．

解答 解：（1）作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，
∵B、C两点的横坐标分别为1、3，
∴B（1，k），B（3，$\frac{k}{3}$），
∴OD=1，DE=2，BD=3CE，
∵CE∥BD，
∴△ACE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AE+DE}$=$\frac{CE}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AE+2}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=1，
∴OA=4，
∵△AOB的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$×4•k=6，
∴k=3．
（2）作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，
∵B、C两点的横坐标分别为a、2a，
∴B（a，$\frac{k}{a}$），B（2a，$\frac{k}{2a}$），
∴OD=a，DE=a，BD=2CE，
∴CE为△ABD的中位线，
∴AE=DE=a，
∴OA=3a，
∵△AOB的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$•3a•k=6，
∴k=$\frac{4}{a}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题以及反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．