Question

如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

Answer 1

    解：（1）∵抛物线y=（x+1）²+k与y轴交于点C（0，﹣3），

∴﹣3=1+k，

∴k=﹣4，

∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²﹣4，

∴抛物线的对称轴为：直线x=﹣1；

（2）存在．

连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，

当y=0时，（x+1）²﹣4=0，

解得：x=﹣3或x=1，

∵A在B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3，

当x=﹣1时，y=﹣（﹣1）﹣3=﹣2，

∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，

∴﹣3＜x＜0；

①设点M的坐标为：（x，（x+1）²﹣4），

∵AB=4，

∴S_△AMB=×4×|（x+1）²﹣4|=2|（x+1）²﹣4|，

∵点M在第三象限，

∴S_△AMB=8﹣2（x+1）²，

∴当x=﹣1时，

即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）²﹣4），

过点M作MD⊥AB于D，

S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=×3×1+×（3+x）×[4﹣（x+1）²]+×（﹣x）×[3+4﹣（x+1）²]

=﹣（x²+3x﹣4）=﹣（x+）²+，

∴当x=﹣时，y=（﹣+1）²﹣4=﹣，

即当点M的坐标为（﹣，﹣）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．