Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．

（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，

①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．

②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．

Answer 1

解：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，∴∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD，∴AD=OC=1+x；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中， OE=，点E坐标为（0，﹣），A（1，0），

设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：，

解得：，

所以直线AE的解析式为y=x﹣；

（3）根据题意画出图形，如图所示：∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，

则EF与EA所在的直线重合，∴点F为DE与BC的交点，又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；这时直线BO与⊙F相切，理由如下：

∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，∴DF⊥BC，又EF∥OB，∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直线BO与⊙F相切；