题目内容

如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若AD= $数学公式$ AB，CF= $数学公式$ CB，△ABC、△CEF、△ADE的面积分别为S_△ABC、S_△CEF、S_△ADE，且S_△ABC=24，则S_△CEF-S_△ADE=______；
（3）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？并证明你的结论．

（1）证明：如图（1），
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF．

（2）解：∵S_△ACB=24，AD= $\text{[math]}$ AB，CF= $\text{[math]}$ CB，
∴S_△ACD=S_△ADE+S_△ACE= $\text{[math]}$ ×24=6①，
S_△ACF=S_△CEF+S_△ACE= $\text{[math]}$ ×24=8②，
∴②-①得：S_△CEF-S_△ADE=8-6=2，
故答案为：2．

（3）BE′=CF，
证明：如图（2），过F作FH⊥AB于H，
∵CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴∠ECE′=∠HFB，
∵△ADE沿AB平移到△A′D′E′，
∴DE=D′E′，EE′=DD′，
∴四边形EDD′E′是平行四边形，
∴EE′∥AB，
∵∠CDB=90°，
∴∠CEE′=∠CDB=90°=∠FHB，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=90°，FH⊥AB，
∴CF=FH，
∵CF=CE，
∴CE=FH，
在△CEE′和△FHB中
$\text{[math]}$
∴△CEE′≌△FHB（ASA），
∴CE′=BF，
∴CE′-FE′=BF-E′F，
即BE′=CF．
分析：（1）求出∠CAF=∠BAF，∠B=∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF=∠CFE，即可得出答案；
（2）求出△CAF和△ACD的面积，再相减即可求出答案；
（3）过F作FH⊥AB于H，求出CF=FH=CE，证△CEE′≌△FHB，推出CE′=BF，都减去FE′即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，三角形面积，三角形内角和定理，角平分线性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．