Question

（2012•天河区一模）如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，
（1）求BC和OF的长；
（2）求证：E、O、G三点共线；
（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式

1

OF2

=

1

OB2

+

1

OC2

成立，于是她得到这样的结论：
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，CD=h，则有等式

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质可得出BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD，结合平行线的性质可得出∠BOC=90°，利用勾股定理可求出BC的长，根据△BOC面积的两种表达形式可求出OF；
（2）连接OE、OG，根据切线的性质可得∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，∠COG=∠COF，然后得出∠EOG=180°即可得出结论；
（3）由tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，然后将等式两边平方变形即可得出结论．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=10，
∴S△BOC=

1

2

BC•OF=

1

2

BO•CO，
即：10×OF=6×8，
解得：OF=4.8．
（2）连接OE，OG，

∵BO分别平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
又∵AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，
∴∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，
同理：∠COG=∠COF，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°，
∴E，O，G三点共线．
（3）等式2成立．
理由如下：
∵tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，
∴

a2

b2

=

h2

b2-h2

，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴

a2b2

a2b2h2

=

(a2+b2)h2

a2b2h2

，
即可得：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

点评：此题属于圆的综合题目，涉及了切线的性质、三角函数及等式的变形，第二问的关键是掌握三点一线需满足的条件，第三问的解答有一定技巧，可以通过灵活变形得出答案，也可以利用相似三角形的知识，分别表示出a²、b²、h²，从而得出结论．