Question

如图，抛物线的顶点为D（1，-2），交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，且B（3，0），坐标原点为O，
（1）求抛物线解析式．
（2）连接OD、BD，在抛物线上确定点E，使△ABE的面积为△OBD面积的

4

3

，求点E的坐标．
（3）点Q为线段DB上一点，将坐标原点O沿∠OQB的平分线翻折得对称点O₁，若QO-QB=

2

，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设二次函数解析式为y=a（x-1）²-2，把点B的坐标代入即可求得a的值；
（2）设E（x、y），利用三角形的面积公式列出关于y的方程，通过解方程来求点E的坐标；
（3）根据点B、D的坐标写出直线BD的方程，然后利用两点间的距离公式来求点Q的坐标．

解答：解：（1）如图，抛物线的顶点为D（1，-2），故设二次函数解析式为y=a（x-1）²-2（a≠0）．
∵抛物线经过点B（3，0），
∴0=a（3-1）²-2，
解得 a=

1

2

，
∴该抛物线的解析式为：y=

1

2

(x-1)2-2；

（2）设E（x、y）．
如图，∵抛物线的顶点为D（1，-2），点A、B（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，
∴AB=4，OB=3．
∵△ABE的面积为△OBD面积的

4

3

，
∴

1

2

AB•|y|=

4

3

×

1

2

OB×3，即4|y|=12
解得 y=±3．
①当y=3时，则3=

1

2

（x-1）²-2，
解得 x=

10

+1或x=-

10

+1，
故E（

10

+1，2）或（

10

+1，2）；
②当y=-3时，则-3=

1

2

（x-1）²-2，
无解．
综上所述，符合条件的点E的坐标为：（

10

+1，2）或（-

10

+1，2）；

（3）设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
∵D（1，-2），B（3，0），
∴

k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k=1 b=-3

，
故线段BD的解析式为y=x-3（1≤x≤3）．
故设Q（t，t-3）．
∵QO-QB=

2

，
∴

t2+(t-3)2

-

(t-3)2+(t-3)2

=

2

，
解得 t=

23

10

（符合题意），
则t-3=-

7

10

．
∴Q（

23

10

，-

7

10

）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，两点间的距离公式以及三角形面积公式等综合题．在解答（2）题时，注意与点D重合的点E的坐标也符合题意，（3）题中的BD线段的解析式需要注明自变量x的取值范围，这都是同学们解题过程中经常忽略的地方．