Question

8．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AD=2，BD=6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，则利用有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ADC∽△CDB；
（2）利用相似比得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，然后利用比例性质求CD．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ADC∽△CDB；
（2）解：∵△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{2}{CD}$=$\frac{CD}{6}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．