Question

17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数可知sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，由此求得线段CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出$\frac{CE}{BC}$=$\frac{CD}{BF}$，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的性质探讨得出答案即可．

解答 解：（1）在Rt△BCD中，
BC=2，∠B=90°-∠A=60°，
sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，
即CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
同理tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{tan30°}$=3；
（2）∵∠CDE=∠BFC=90°-∠DCF，∠ECD=∠B=60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{CD}{BF}$，
即$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{y+1}$，
∴y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$-1，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤x＜2$\sqrt{3}$）；
（3）∠EGF=∠CGD=90°
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF=∠GDC，
∴EF∥DC，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{DF}{AD}$，
即$\frac{x}{2\sqrt{3}}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{x}-1}{3}$，
解得x=$\frac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{3}$；
②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF=∠GCD=∠GDF，
∴EF=DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG=DG，
∴CD=CE=$\sqrt{3}$；
综上，CE=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{3}$；

点评 此题考查相似的综合题，综合考查了特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．