Question

10．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1
（1）求证：∠BPQ=60°；（提示：利用三角形全等、外角的性质）
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC为等边三角形，AE=CD，可以推出△BAE≌△ACD，再根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，从而可以解答本题．
（2）根据BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1，∠BPQ=60°，可以得到BP的长，从而得到BE的长．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°．
在△BAE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△ACD（SAS）．
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAE=60°．
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=60°．
（2）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ=4，∠BPQ=60°，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ=8．
∵PE=1，BE=BP+PE．
∴BE=8+1=9．

点评 本题考查三角形全等的证明、直角三角形中30°角所对的直角边和斜边的关系，解答本题的关键是找出所求问题需要的条件．需要注意的是证明题要先写证明，解答题要写解．