Question

11．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB=BE=ED=CD=15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器）

Answer 1

分析 （1）由题意得：DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{15}{2}$cm，EF⊥CD，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得EF=15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，根据cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$≈0.134，根据得到结论．

解答 解：（1）由题意得：DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{15}{2}$cm，EF⊥CD，
∴cosD=$\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴∠D=60°；
答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°；

（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴HF=30，
∵EF=15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴BH=30-BE-EF=15-$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$≈0.134，
∴∠ABH≈82.30°，
∴∠ABE=97.70°．
答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．