Question

如图，矩形ABDE中，C为BD上一动点，作CF⊥AC交AE所在的直线于F，若AB=4，求AF的最小值．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：根据（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（当a=b时等号成立），那么在直角三角形ACF中AF=

AC2+CF2

≥

2AC•CF

，（当AC=CF是等号成立），则AF的最小值=

2AC•CF

=

2

AC，从而得出△ACF是等腰直角三角形，进而得出△ABC是等腰直角三角形，从而求得AC的值，即可求得AF的最小值．

解答：解：∵（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（当a=b时等号成立）
∵CF⊥AC，
∴AF=

AC2+CF2

≥

2AC•CF

，（当AC=CF是等号成立）
∴AF的最小值=

2AC•CF

=

2

AC，
此时△ACF是等腰直角三角形，
∴∠CAF=45°，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB=4

2

∴AF的最小值=

2

AC=

2

×4

2

=8．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，根据（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（当a=b时等号成立），是本题的关键．