Question

7．如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC与AD平行，由CD与AD垂直，得到CD与OC垂直，即可得证；
（2）连接OF，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出∠OCB的度数，在直角三角形OCE中，求出CE的长，利用角平分线性质得到CD=CE，即可求出CD的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；
（2）解：连接OF，过C作CE⊥AB，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，
在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴CD=CE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．