Question

10．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD，求证：直线PD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 要证是直线PD是为⊙O的切线，需证∠PDO=90°．因为AB为直径，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°．

解答 证明：∵OB=OD，
∴∠ODB=∠PBD，
∵AB为直径，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA=90°．即∠PDO=90°．
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定；证明OD⊥PD是解决问题的关键．