Question

20．如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于E，F．
（1）作∠BCD的角平分线CF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求证：AE=CF．

Answer 1

分析 （1）首先以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求；
（2）由?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易得AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF，继而证得△DAE≌△BCF，则可证得结论．

解答 解：（1）如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，
②分别以M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN为半径画弧，两弧交于点P，
③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DAB$，$∠BCF=\frac{1}{2}∠DCB$，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠D=∠B\\ DA=BC\\∠DAE=∠BCF\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△DAE≌△BCF是关键．