Question

7．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，DB=3$\sqrt{2}$．求：
（1）AB的长；  
（2）直接写出∠CAB的正切值．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=45°，过点D作DE⊥AB于点E，可知△BED是等腰直角三角形，由此可求得BE的长度，再由sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，可求得AD与AE的长度，进而求出AB的长度．
（2）过点C作CF⊥AB于点F，由此可知△BCF的等腰直角三角形，所以可求出CF、BF的值．

解答 解：（1）∵∠ABC=45°，过点D作DE⊥AB于点E
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=ED=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DB=3，
∵sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴AD=5，
∴由勾股定理可求得：AE=4，
∴AB=AE+BE=7，
（2）过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠ABC=45°，
∴△BCF是等腰三角形，
∵BC=2BD=6$\sqrt{2}$，
∴CF=BF=6，
∴AF=AB-BF=1，
∴tan∠CAB=$\frac{CF}{AF}$=7，

点评 本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质．