Question

12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠BAE=∠CAD．
（2）若⊙O的半径为4，AC=5，CD=2，求CF．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出结论；
（2）证明△ABE∽△ADC，得出对应边成比例$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，求出BE，由圆周角定理$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，得出CF=BE=$\frac{16}{5}$即可．

解答 （1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∵∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD；
（2）解：∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{BE}{2}=\frac{8}{5}$，
解得：BE=$\frac{16}{5}$，
由（1）得：∠BAE=∠CAD，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，
∴CF=BE=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似求出BE是解决问题的关键．