Question

3．如果方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是关于x、y的二元一次方程，且函数y=ax+b的图象与x轴、y轴相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）画出函数y=ax+b的图象，并求线段AB的长度．
（3）求△OAB的面积．
（4）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是关于x、y的二元一次方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{|a|=1}\\{a+1≠0}\\{|b|-3=1}\\{b-4≠0}\end{array}\right.$，据此求出a、b的值各是多少，即可推得A、B两点的坐标．
（2）首先根据求出的A、B两点的坐标，画出函数y=ax+b的图象；然后根据OA=4，OB=4，应用勾股定理，求出线段AB的长度是多少即可．
（3）根据直角三角形的面积公式，求出△OAB的面积是多少即可．
（4）根据题意，分三种情况：①当PA=PB时；②当AP=AB=4$\sqrt{2}$时；③当BP=BA=4$\sqrt{2}$时；然后根据等腰三角形的性质，求出符合条件的P点坐标即可．

解答 解：（1）∵方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是关于x、y的二元一次方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a|=1}\\{a+1≠0}\\{|b|-3=1}\\{b-4≠0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∵函数y=x-4的图象与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A点的坐标是（4，0），B点的坐标是（0，-4）．

（2）函数y=x-4的图象如下：
，
∵OA=4，OB=4，
∴线段AB的长度是：
$\sqrt{{4}^{2}{+4}^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$．

（3）在Rt△OAB中，
∵OA=4，OB=4，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}×4×4=8$．

（4）①如图2，
，
当PA=PB时，点P和点O重合，
∴P点的坐标是（0，0）．
②如图3，
，
当AP=AB=4$\sqrt{2}$时，
∵A点的坐标是（4，0），
∴P点的坐标是（4-4$\sqrt{2}$，0）．
③如图4，
，
当BP=BA=4$\sqrt{2}$时，
∵A点的坐标是（4，0），
∴P点的坐标是（-4，0）．
综上，可得
当△PAB为等腰三角形时，P点坐标的坐标是（0，0）、（4-4$\sqrt{2}$，0）或（-4，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，勾股定理的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．