Question

8．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，AB=6．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，可求得∠BCD的度数，继而求得答案；
（2）首先连接BD交AC于点O，则∠AOB=90°，AO=CO，然后由含30°的直角三角形的性质，求得OB的长，再利用勾股定理的知识求得OA的长，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，
∴∠BCD=2∠ACD=60°，
∴∠ABC=180°-60°=120°；

（2）连接BD交AC于点O，则∠AOB=90°，AO=CO，
又∵∠ACD=∠BAC=30°，
∴在Rt△AOB中，OB=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了利用菱形的性质、勾股定理以及含30°的直角三角形的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．