Question

7．如图，点O是正方形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、CD、BC、AD上的点，且EF⊥GH，EF、GH相交于点O，下列结论：①AE=BG；②∠BEO=∠CGO；③OE=OH；④S_{正方形ABCD}≠4S_{四边形AEOH}中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 连接OA、OB、OC、OD，由点O是正方形ABCD的中心，得出∠AOB=90°，∠OAE=∠OBG=45°，OA=OB=OC=OD，由ASA证明△AOE≌△BOG，得出对应边相等AE=BG，得出①正确；
同理：△OBE≌△OCG，得出∠BEO=∠CGO，②正确；
同理：△AOH≌△BOE，得出OE=OH，③正确；
由四边形AEOH的面积=四边形BGOE的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，得出正方形ABCD的面积=4四边形AEOH的面积，得出④不正确．

解答 解：连接OA、OB、OC、OD，如图所示：
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠AOB=90°，∠OAE=∠OBG=45°，OA=OB=OC=OD，
∵EF⊥GH，
∴∠EOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG，
在△AOE和△BOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBG}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOE=∠BOG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴AE=BG，①正确；
同理：△OBE≌△OCG，
∴∠BEO=∠CGO，②正确；
同理：△AOH≌△BOE，
∴OE=OH，③正确；
∴四边形AEOH的面积=四边形BGOE的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，
∴正方形ABCD的面积=4四边形AEOH的面积，
∴④不正确；
正确的有3个．故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．