Question

9．如图，边长为4的等边三角形ABC是三棱锥的一个横截面，一束光线沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的D点处（D与B，C 两点不重合），反射光线又从边AC射出去，DK为法线，设BE的长为x，AF的长为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半得到BD=2x，CD=4-2x，根据等角的余角相等得到∠1=∠2=30°，进而CF=2-x，可得y=4-CF=x+2；
（2）由（0，2）、（2，4）两点在y=x+2上，结合0＜x＜2可画出函数图象；

解答 解：（1）∵△ABC是边长等于4的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=4，
∵MD⊥AB于E，∴∠1=30°． 
∵BE的长为x，∴BD=2x，
∴DC=4-2x，
∵DK为法线，∴KD⊥BC，∠3和∠4分别为入射角和反射角，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2=30°． 
∴∠DFC=90°． 
∴FC=2-x，
∴AF=4-（2-x）=x+2=y．
∴y 和 x 之间的函数关系式是 y=x+2，
自变量 x 的取值范围是 0＜x＜2．
（2）函数图象如下：

点评 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质等，有一定综合性，属中档题．