Question

18．AD是Rt△ABC的垂线，以AB为边长，分别向内，外做正三角形ABN、ABM，以AC为边长，分别向内、外作正三角形ACQ、ACP，连接MD、ND、PD、QD、MP、QN，求证：△MPD相似于△NQD．

Answer 1

分析 由直角三角形的性质得出∠CAD=∠ABD，证出△CAD∽△ABD，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{AB}$，再由等边三角形的性质得出$\frac{AD}{AP}=\frac{BD}{BM}$，证出∠PAD=∠MBD，得出△PAD∽△MBD，得出$\frac{PD}{MD}=\frac{PA}{MB}=\frac{AC}{AB}$，∠PDA=∠MDB，再证明△ADQ∽△BDN，得出$\frac{DQ}{DN}=\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，∠ADQ=∠BDN，证出∠QDN=∠PDM，由$\frac{PD}{MD}=\frac{DQ}{DN}$，即可得出结论．

解答 证明：AD是Rt△ABC的垂线，
∴AD⊥BC，∠CAD+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠ABD，
∴△CAD∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
∵△ACP、△ABM是等边三角形，
∴AP=AC，BM=AB，
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{BD}{BM}$，
∵∠PAD=∠PAC+∠CAD=60°+∠CAD，∠MBD=∠ABM+∠ABD=60°+∠ABD，
∴∠PAD=∠MBD，
∴△PAD∽△MBD，
∴$\frac{PD}{MD}=\frac{PA}{MB}=\frac{AC}{AB}$，∠PDA=∠MDB，
∴∠PDM=∠PDA+∠ADM=∠MDB+∠ADM=90°，
∵∠CAQ=60°=∠ABN，∠CAD=∠ABD，
∴∠DAQ=∠DBN，
∵$\frac{AQ}{AD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{BN}$，
∴△ADQ∽△BDN，
∴$\frac{DQ}{DN}=\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，∠ADQ=∠BDN，
∴∠QDN=∠BDN-∠BDQ=∠ADQ-∠BDQ=90°，
∴∠QDN=∠PDM，
∵$\frac{PD}{MD}=\frac{DQ}{DN}$，
∴△MPD∽△NQD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．