Question

6．己知，点A、B分别在x轴、y轴上，M（m，m）是边AB上的一点，CM⊥AB交x轴正半轴于点C．己知m满足（m+1）（m+3）-（m+2）（m-2）=15
（1）求M的坐标
（2）如图1，求OB+OC的值．
（3）如图2，延长MC交y轴于点D，求S_△ACM-S_△OCD的值．
（4）如图3，点P为AM上任意一点（P不与A、M重合），过A作AE⊥DP，点E为垂足，连EM，求∠DEM的度数．

Answer 1

分析 （1）先解方程（m+1）（m+3）-（m+2）（m-2）=15，求得m的值，即可得到M的坐标；
（2）如图①，作辅助线，构建全等三角形，先证明四边形OKMN为正方形得：OK=ON=2，再证明△MNB≌△MKC，则CK=BN，代入OB+OC中可得结论；
（3）如图②，证明△AKM≌△DNM，则S_△AKM=S_△DNM，所以S_△ACM-S_△OCD拆成和与差的形式，并等量代换即可；
（4）如图③，作辅助线，构建全等三角形，证明△MDF≌△MAE，得MF=ME，∠DMF=∠AME，再得△FME是等腰直角三角形，即可得出∠DEM=45°．

解答 解：（1）∵（m+1）（m+3）-（m+2）（m-2）=15，
4m+3+4=15，
∴m=2，
∴M的坐标为（2，2）；

（2）如图1，过M作KM⊥x轴，KN⊥y轴，垂足分别为K、N，
则∠MNO=∠MKO=90°，
∵∠BOA=90°，
∴四边形OKMN是矩形，
∴∠NMK=90°，
∴∠NMC+∠CMK=90°，
∵M（2，2），
∴KM=MN=2，
∴矩形OKMN是正方形，
∴OK=ON=2，
∵CM⊥AB，
∴∠BMN+∠NMC=90°，
∴∠BMN=∠CMK，
∵∠MNB=∠CKM=90°，
∴△MNB≌△MKC（ASA），
∴CK=BN，
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CK+OC=ON+OK=2+2=4；

（3）如图2，∵∠AMC=∠KMN=90°，
∴∠AMK=∠NMD=90°-∠CMK，
∵∠MND=∠MKA=90°，KM=MN，
∴△AKM≌△DNM（ASA），
∴S_△AKM=S_△DNM，
∴S_△ACM-S_△OCD=S_△AKM+S_△CMK-S_△OCD
=S_△DNM+S_△CMK-S_△OCD
=S_{正方形OKMN}+S_△OCD-S_△OCD
=S_{正方形OKMN}
=2×2
=4；

（4）如图3，由（3）得：△AKM≌△DNM，
∴AM=DM，
在DE上截取DF=AE，连接MF，
∵AE⊥EF，DM⊥AB，
∴∠DMP=∠AEP=90°，
∵∠MPD=∠EPA，
∴∠MDF=∠MAE，
∴△MDF≌△MAE（SAS），
∴MF=ME，∠DMF=∠AME，
∵∠DMP=90°，
∴∠DMF+∠FMP=∠AME+∠FMP=∠FME=90°，
∴△FME是等腰直角三角形，
∴∠DEM=45°．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形、正方形、矩形的性质和判定；解决问题的关键是证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等和对应角相等得出边与角的关系；同时利用了全等三角形的面积相等，在求解三角形面积的差时，利用三角形面积相等关系进行加减，得出S_△ACM-S_△OCD的值与正方形的面积相等，从而得出结论．