Question

6．如图，点A在函数y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的图象上，点B在x轴的正半轴上，BO=BA，点A的横坐标为1．
（1）求点B的坐标；
（2）设C是AB的中点，D是线段OB上一动点，点A关于直线CD的对称点是A′．
①OD为何值时，点A′与点B重合？
②OD为何值时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，由点A的横坐标为1可求出OH、AH，设OB=x，则AB=OB=x，BH=x-1，然后在Rt△AHB中运用勾股定理即可解决问题；
（2）①设DB=m，则有AD=BD=m，HD=12-m，只需在Rt△AHD中运用勾股定理，就可解决问题；
②以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形并不唯一，可分两种情况进行讨论：Ⅰ．若BC是平行四边形的边，如图2，易证四边形CADA′是菱形，从而得到AD=AC=$\frac{13}{2}$，然后在Rt△AHD中运用勾股定理即可解决问题；Ⅱ．若BC是平行四边形的对角线，如图3，易得DB=CA′=CA=$\frac{13}{2}$，即可求出OD．

解答 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1．
∵点A在函数y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的图象上，x_A=1，
∴OH=1，y_A=$\frac{5}{1}$=5，
∴AH=5．
设OB=x，则有AB=OB=x，BH=x-1．
在Rt△AHB中，根据勾股定理可得：
5²+（x-1）²=x²，
解得：x=13，
∴点B的坐标为（13，0）；

（2）①若点A′与点B重合，如图1，
∵点A关于直线CD的对称点是A′，
∴DA=DA′=DB．
设DB=m，则有AD=BD=m，HD=12-m．
在Rt△AHD中，根据勾股定理可得：
5²+（12-m）²=m²，
解得：m=$\frac{169}{24}$，
∴OD=OB-DB=13-$\frac{169}{24}$=$\frac{143}{24}$，
∴OD为$\frac{143}{24}$时，点A′与点B重合；
②Ⅰ．若BC为平行四边形的边，如图2，
则有四边形CDA′B是平行四边形，
∴DA′∥BC，DA′=BC．
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{2}$，
∴DA′∥AC，DA′=AC，
∴四边形CADA′是平行四边形．
∵DA=DA′，
∴平行四边形CADA′是菱形，
∴AD=AC=$\frac{13}{2}$，
∴HD²=AD²-AH²=$\frac{169}{4}$-25=$\frac{69}{4}$，
∴HD=$\frac{\sqrt{69}}{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{69}}{2}$+1；
Ⅱ．若BC为平行四边形的对角线，如图3，
则有四边形CDBA′是平行四边形，
∴DB=CA′．
∵CA=CA′，
∴DB=AC=$\frac{13}{2}$，
∴OD=OB-DB=13-$\frac{13}{2}$=$\frac{13}{2}$．
综上所述：当OD为$\frac{\sqrt{69}}{2}$+1或$\frac{13}{2}$时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，证到四边形CADA′是菱形，从而得到AD=AC是解决第（2）①小题的关键．设某个线段为x，然后运用勾股定理（或相似三角形的性质或三角函数的定义）建立方程，并解出这个方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．另外，需要说明的是：当平行四边形的四个顶点的顺序不确定时，需分情况讨论．