题目内容
1．如图（1），在边长为$10\sqrt{2}$cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG、EB，设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0），E到达C、F到达A停止．若E的运动时间为x（s），解答下列问题：（1）当0＜x＜10时，直接写出以E、F、G、H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；
（2）若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；（图（2）为备用图）
（3）是否存在E点，使y=125？若存在，求出AE的长，不存在请说明理由．
分析 （1）根据正方形的性质可知△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，即可求出结论．
根据正方形的边长可求出AC的长，过B作BO⊥AC于O，OB即为△ABE的高，设AE=x，y用含x的关系式表示出S1、S2即可求出x的值．
（2）因为当x=10时，EF重合此时S1=0，y=S2故应分0≤x＜10与10≤x≤20两种情况讨论．
（3）同（2）分两种情况用含x的代数式表示出y的值，然后根据二次函数的最值即可求出y的最大值，从而判断是否存在E点，使y=125．
解答 解：（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，
故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，
所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．
∵正方形边长为10$\sqrt{2}$，
∴AC=20．
∵AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=10．
∴S2=5x（2分）
∵HE=x，EF=20-2x，
∴S1=x（20-2x）．
当S1=S2时，x（20-2x）=5x．
解得x1=0（舍去），x2=7.5．
∴当x=7.5时，S1=S2．
（2）①当0≤x＜10时，y=x（20-2x）+5x=-2x2+25x．
②当10≤x≤20时，AE=x，CE=HE=20-x，EF=20-2（20-x）=2x-20．
∴S1=（20-x）（2x-20）．
∴y=（20-x）（2x-20）+5x=-2x2+65x-400．
（3）①y=-2x2+25x（0≤x＜10），
当x=-$\frac{25}{2×（-2）}$=$\frac{25}{4}$时，y=-2（$\frac{25}{4}$）2+25×$\frac{25}{4}$=$\frac{625}{8}$=78.125，
∴y的最大值为$\frac{625}{8}$，
②y=-2x2+65x-400（10≤x≤20），
当x=-$\frac{65}{2×（-2）}$=$\frac{65}{4}$时，y═-2（$\frac{65}{4}$）2+65×$\frac{65}{4}$-400=128.125，y的最大值为128.125．
∴存在E点，使y=125．
当y=125时，
-2x2+65x-400=125，解得：x1=15，x2=17.5，
所以AE的长为15cm或17.5cm时，y=125．
点评 本题综合考查了正方形的性质及二次函数图象上点的特征，把求面积的最值转化为求二次函数的最值问题，锻炼了同学们对所学知识的综合运用能力．
阅读快车系列答案| A． | y=10x | B． | y=25x | C． | y=$\frac{2}{5}$x | D． | y=$\frac{5}{2}$x |
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如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A2015的坐标是（ ）| A． | （-2015，-2015） | B． | （-504$\sqrt{2}$，-504$\sqrt{2}$） | C． | （-252$\sqrt{2}$，252$\sqrt{2}$） | D． | （-252$\sqrt{2}$，-252$\sqrt{2}$） |