Question

2．在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．
（1）若a、b满足a²+b²-8a-4b+20=0．
①求a、b的值；
②如图1，在①的条件下，第一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请求四边形AOBC的面积S；
（2）如图2，若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF，判断AF与BF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值；
②根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H，证明四边形FHOG是正方形，得到OG=FH，∠GFH=90°，证明△AFG≌△BFH，根据全等三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）①∵a²+b²-8a-4b+20=0，
∴（a-4）²+（b-2）²=0，
∴a=4，b=2；
②∵A（0，4），B（2，0），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=$\sqrt{10}$，
∴四边形AOBC的面积S=$\frac{1}{2}$×OA×OB+$\frac{1}{2}$×AC×BC=4+5=9；
（2）结论：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：
如图2，作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H，
∵A（0，a）向右平移a个单位到D，
∴点D坐标为（a，a），点E坐标为（a+b，0），
∴∠DOE=45°，
∵EF⊥OD，
∴∠OFE=90°，∠FOE=∠FEO=45°，
∴FO=EF，
∴FH=OH=HE=$\frac{1}{2}$（a+b），
∴点F坐标为（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$），
∴FG=FH，四边形FHOG是正方形，
∴OG=FH=$\frac{a+b}{2}$，∠GFH=90°，
∴AG=AO-OG=a-$\frac{a+b}{2}$=$\frac{a-b}{2}$，BH=OH-OB=$\frac{a+b}{2}$-b=$\frac{a-b}{2}$，
∴AG=BH，
在△AFG和△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BH}\\{∠AGF=∠BHF}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△BFH，
∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，
∴∠AFB=∠AFG+∠BFG=∠BFH+∠BFG=90°，
∴FA=FB，FA⊥FB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是掌握平移的性质、正确添加辅助线构造全等三角形．