Question

若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE=5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：利用勾股定理列式求出AE，再分①点F在CD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CBF，再求出BF⊥AE，利用三角形的面积列式求解即可得到BM的长；②点F在AD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，连接EF，可得四边形ABEF是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．

解答：解：如图，∵正方形的边长为12，BE=5，
∴AE=

122+52

=13，
①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，

BF=AE AB=BC

，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BME=90°，
∴BF⊥AE，
∴S_△ABE=

1

2

×13•BM=

1

2

×12×5，
解得BM=

60

13

；
②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，

BF=AE AB=BA

，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF=BE，
连接EF，则四边形ABEF是矩形，
∴BM=

1

2

AE=

13

2

，
综上所述，BM的长为

60

13

或

13

2

．
故答案为：

60

13

或

13

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．