Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连结EB，EC，设⊙E的半径为R，先根据勾股定理计算出BC=4，则DC=2，由以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，根据切线的性质得EG=EF=R，则HC=R，AH=3-R，再证明△AEH∽△ADC，利用相似比可得到EH=

2(3-R)

3

，然后根据S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC得到关于R的方程，再解方程即可．

解答：解：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连结EB，EC，设⊙E的半径为R，如图，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=4，
而AD为中线，
∴DC=2，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EG=EF=R，
∴HC=R，AH=3-R，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ADC，
∴EH：CD=AH：AC，即EH=

2(3-R)

3

，
∵S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC，
∴

1

2

×5×R+

1

2

×4×R+

1

2

×3×

2

3

（3-R）=

1

2

×3×4，
∴R=

6

7

．
故答案为

6

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．