Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

Answer 1

方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）   

将A、B、C三点的坐标代入得    

解得：                     

所以这个二次函数的表达式为：

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

设该表达式为：                

将C点的坐标代入得：                          

所以这个二次函数的表达式为：          

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）

方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）           

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                              

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）                   

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                        

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（2，3）或（－4，3）  

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）                        

（3）如图，

①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得  

∴圆的半径为或．  

（4）

过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

              

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．