Question

19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为$\widehat{AD}$的中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）求∠BOM的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，得到$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，证明结论；
（2）连接OA、OB、OM，根据正方形的性质求出∠AOB和∠AOM，计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∵M为$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{DM}$，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴BM=CM；
（2）解：连接OA、OB、OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∵M为$\widehat{AD}$的中点，
∴∠AOM=45°，
∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°．

点评 本题考查的是正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．