Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC、AF． 
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若OF：OD=5：4，求S_△AOF：S_△ABC的比值，
（3）在（2）的条件下，若AF等于3

10

，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=90°，根据等腰三角形的性质可得∠AOD=∠BOD，从而可得△OAP≌△OBP，则有∠OAP=∠OBP=90°，即可证到直线PA为⊙O的切线；
（2）易证△ADO∽△ABC，根据相似三角形的性质可得

S△ADO

S△ABC

=

1

4

．由OF：OD=5：4可得

S△AOF

S△ADO

=

OF

OD

=

5

4

，即可求出

S△AOF

S△ABC

的值；
（3）设OF=5k，则OD=4k，OA=5k，FD=9k，AD=3k，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可解决问题．

解答：解：（1）连接OB，如图所示，
∵PB切⊙O于B点，
∴∠OBP=90°．
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=∠BOD．
在△OAP和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAP≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直线PA为⊙O的切线；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ADO=∠ABC=90°，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
∴

S△ADO

S△ABC

=（

AO

AC

）²=

1

4

．
∵OF：OD=5：4，
∴

S△AOF

S△ADO

=

OF

OD

=

5

4

，
∴

S△AOF

S△ABC

=

S△AOF

S△ADO

•

S△ADO

S△ABC

=

5

4

×

1

4

=

5

16

．
即S_△AOF：S_△ABC为5：16；

（3）设OF=5k，则OD=4k，OA=5k，FD=9k，
∵∠ADF=90°，
∴AD=3k，
∵AF=3

10

，
∴AF²=AD²+DF²=90，
∴9k²+81k²=90，
解得k=±1（舍负），
∴OF=5，
即⊙O的半径长为5．

点评：本题主要考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积等知识，将S_△AOF、S_△ABC分别与S_△ADO相联系是解决第（2）小题的关键．