Question

9．平面直角坐标系中，原点O关于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4对称点O₁的坐标是（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）．

Answer 1

分析 由直线的解析式求得A、B的坐标，设O₁O与直线y=-$\frac{4}{3}$x+4的交点为D，作O₁E⊥x轴于E，根据题意OO₁⊥AB，根据三角形面积公式求得OD的长，即可求得OO₁的长，然后通过三角形相似求得OE的长，进一步根据勾股定理求得O₁E的长，即可求得对称点O₁的坐标．

解答 解：如图，∵原点O关于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4对称点O₁，
∴OO₁⊥AB，
设O₁O与直线y=-$\frac{4}{3}$x+4的交点为D，作O₁E⊥x轴于E，
由直线y=-$\frac{4}{3}$x+4可知A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OD，
∴OD=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴OO₁=$\frac{24}{5}$，
∵∠ADO=∠O₁EO=90°，∠AOD=∠EOO₁，
∴△AOD∽△O₁OE，
∴$\frac{O{O}_{1}}{OA}$=$\frac{OE}{OD}$，即$\frac{\frac{24}{5}}{3}$=$\frac{OE}{\frac{12}{5}}$，
∴OE=$\frac{96}{25}$，
∴O₁E=$\sqrt{O{{\;}_{1}O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{72}{25}$，
∴点O₁的坐标是（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$），
故答案为（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）．

点评 本题考查了坐标和图形变化-对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．