Question

14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC上一点，EG⊥AF于H，交CD于点G，求证：BE+BF=CG．

Answer 1

分析 过点E作EM⊥DC于点M，由正方形的性质和已知条件易证四边形EBCM是矩形，△ABE≌△EMG，进而可得到BE=CM，再由相等线段的代替即可证明BE+BF=CG．

解答 证明：
过点E作EM⊥DC于点M，则四边形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠EMG=90°，AB=BC，
∵EG⊥AF于H，
∴∠GEM+∠EHA=90°，∠BAF+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠GEM．
在△ABE和△EMG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GEM}\\{AB=EM}\\{∠B=∠EMG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EMG（ASA），
∴BF=GM，
∴CG=CM+GM=BE+BF．

点评 本题考查了正方形的性质、矩形的判断和性质、全等三角形的判断和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是证题的关键．