Question

2．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D
（1）若AB=8，AC=6，BC=10，求AD的长．
（2）若AD²=BD×CD，你能判断△ABC的形状吗？

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，根据AB²+AC²=8²+6²=100=10²=BC²，于是得到∠CAB=90°，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据AD²=BD×CD，得到$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，由于∠ADC=∠ADB=90°，证得△ACD∽△ABD，根据相似三角形的性质得到∠CAD=∠B，根据余角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）在△ABC中，∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=8²+6²=100=10²=BC²，
∴∠CAB=90°，
∵AD⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴AD=$\frac{AC•AB}{BC}$=$\frac{24}{5}$；

（2）△ABC是直角三角形，
∵AD²=BD×CD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ACD∽△ABD，
∴∠CAD=∠B，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．