Question

10．如图所示，AD为△ABC的角平分线，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别交于E、F．如果BD=AE，BE=3，CF=2，求AF的长．

Answer 1

分析 作直径DG，连结EG，如图，根据切线的性质得∠3+∠GDE=90°，再利用圆周角定理得到∠DEG=90°，则∠G+∠GDE=90°，所以∠3=∠G，加上∠4=∠G，则∠3=∠4，于是可判断△BDE∽△BAD，利用相似比可计算出AE=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，然后证明EF∥BC，利用平行线分线段成比例定理可计算出AF的长．

解答 解：作直径DG，连结EG，如图，
∵BC为切线，
∴DG⊥BC，
∴∠3+∠GDE=90°，
∵DG为直径，
∴∠DEG=90°，
∴∠G+∠GDE=90°，
∴∠3=∠G，
∵∠4=∠G，
∴∠3=∠4，
∵∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：BA=BE：BD，
∵BD=AE，BE=3，
∴AE：（3+AE）=3：AE，
整理得AE²-3AE-9=0，解得AE=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$或AE=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴EF∥BC，
∴AE：BE=AF：CF，
∴AF=$\frac{2×（3+3\sqrt{5}）}{3}$=1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是证明△BDE∽△BAD和EF∥BC．