Question

12．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：
①∠AFC=120°；
②△AEF是等边三角形；
③AC=3OG；
④S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC
其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性质得出OG=$\frac{1}{2}$AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形内角和定理得出①正确；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等边三角形，②正确；由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG，得出AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG，③不正确；由中点的性质得出S_△AOG=$\frac{1}{2}$S_△AOE，证明△AOE∽△ABC，得出$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，得出S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC，④正确，即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B=90°，
∴∠FCA=∠OAG，
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵点G是AE中点且∠AOG=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
∴∠AFC=180°-30°-30°=120°，①正确；
∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°-30°=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，②正确；
∵∠OAG=30°，EF⊥AC，
∴AE=2OE=2OG，
∴OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG，
∴AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG，③不正确；
∵点G是AE中点，
∴S_△AOG=$\frac{1}{2}$S_△AOE，
∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，相似比为$\frac{OE}{BC}$=$\frac{OE}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC，④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度．