Question

17．目前，我市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=9（米）和b=12（米），现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b=12（米）为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为40米或48米或（30+6$\sqrt{5}$）米．

Answer 1

分析 分三种情形讨论即可，①AB=BE₁，②AB=AE₃，③E₂A=E₂B，分别计算即可．

解答 解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=9，AC=12，∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=15，
①当BA=BE₁=15时，CE₁=6，
∴AE₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{E}_{1}}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴△ABE₁周长为（30+6$\sqrt{5}$）米．
②当AB=AE₃=15时，CE₃=BC=9，BE₃=18，
∴△ABE₃周长为48米．
③当E₂A=E₂B时，作E₂H⊥AB，则BH=AH=7.5，
∵∠B=∠B，∠ACB=∠BHE₂=90°，
∴△BAC∽△BE₂H，
∴$\frac{BH}{BC}$=$\frac{B{E}_{2}}{AB}$，
∴BE₂=$\frac{25}{2}$，
∴△ABE₂周长为2×$\frac{25}{2}$+15=40米．
综上所述扩充后等腰三角形的周长为40米或48米或（30+6$\sqrt{5}$）米．

点评 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，属于一题多解，注意漏解．