Question

8．已知，如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，BC=6，D为直线BC上一点 
（1）如图1，若BD=CD，则AD=3；
（2）如图2，若BD=2CD，求AD的值；
（3）如图3，若BD=mCD，请直接写出AD的值为$\frac{3\sqrt{{m}^{2}+2m+5}}{m+1}$（用含m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据三线合一定理即可求解；
（2）作AE⊥BC，求得AE和DC即可求得ED的长，在直角△AED中利用勾股定理求解；
（3）与（2）的解法相同．

解答 解：（1）∵Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，BD=CD，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案是：3；
（2）作AE⊥BC，则AE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵BD=2CD，
∴CD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴ED=1，
∴在直角△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（3）同理，作AF⊥BC，则AF=3，
∵BD=mCD，
∴DC=$\frac{1}{1+m}$BC=$\frac{6}{1+m}$，
∴在直角△ADF中，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{6}{1+m}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{{m}^{2}+2m+5}}{m+1}$．
故答案是：$\frac{3\sqrt{{m}^{2}+2m+5}}{m+1}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，以及勾股定理，求线段长的问题常用的方法是转化为解直角三角形的问题．