Question

16．如图，抛物线y=x²+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．
（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x²+x-2），则AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，根据S _{四边形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由 y=0，得 x²+x-2=0 解得 x=-2 x=l，
∴A（-2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．

设直线 AC 为 y=kx+b，则-2k+b=0，b=-2：得 k=-l，y=-x-2．
对称轴为 x=-$\frac{1}{2}$，当 x=-$\frac{1}{2}$时，y=^_（-$\frac{1}{2}$）-2=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

（3）过点M作MN丄x轴与点N，

设点M（x，x²+x-2），则AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，
S _{四边形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（x+2）（-x²-x+2）+$\frac{1}{2}$（2-x²-x+2）（-x）+$\frac{1}{2}$×1×2
=-x²-2x+3
=-（x+1）²+4．
∵-1＜0，
∴当x=^_l时，S_{四边形ABCM}的最大值为4．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．