Question

10．已知一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d₁、d₂．
（1）当P为线段AB的中点时，求d₁+d₂的值；
（2）直接写出d₁+d₂的范围，并求当d₁+d₂=3时点P的坐标；
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d₁+ad₂=4（a为常数），求a的值．

Answer 1

分析 （1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d₁+d₂的值；
（2）根据题意确定出d₁+d₂的范围，设P（m，2m-4），表示出d₁+d₂，分类讨论m的范围，根据d₁+d₂=3求出m的值，即可确定出P的坐标；
（3）设P（m，2m-4），表示出d₁与d₂，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d₁与d₂，代入d₁+ad₂=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．

解答 解：（1）对于一次函数y=2x-4，
令x=0，得到y=-4；令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），B（0，-4），
∵P为AB的中点，
∴P（1，-2），
则d₁+d₂=3；
（2）①d₁+d₂≥2；
②设P（m，2m-4），
∴d₁+d₂=|m|+|2m-4|，
当0≤m≤2时，d₁+d₂=m+4-2m=4-m=3，
解得：m=1，此时P₁（1，-2）；
当m＞2时，d₁+d₂=m+2m-4=3，
解得：m=$\frac{7}{3}$，此时P₂（$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
当m＜0时，不存在，
综上，P的坐标为（1，-2）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
（3）设P（m，2m-4），
∴d₁=|2m-4|，d₂=|m|，
∵P在线段AB上，
∴0≤m≤2，
∴d₁=4-2m，d₂=m，
∵d₁+ad₂=4，
∴4-2m+am=4，即（a-2）m=0，
∵有无数个点，
∴a=2．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．