Question

13．如图，在矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．若DP=$\frac{1}{n}$AD，CQ=$\frac{1}{n}$BC，点D的对应点F在PQ上，则AE的长是12$\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}$cm．

Answer 1

分析 由勾股定理，易求得PF的长；然后作FG⊥CD于点G，易证得△AFP∽△EFG，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，即可求得AE的长．

解答 解：∵DP=$\frac{1}{n}$AD=$\frac{12}{n}$，
∴AP=$\frac{12（n-1）}{n}$，
∴FP=$\sqrt{A{F}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2n-1}}{n}$，
作FG⊥CD于点G，如图所示：
∵∠AFE=90°，
∴∠AFP=∠EFG，
∴△AFP∽△EFG，
∴$\frac{PF}{AF}$=$\frac{GF}{EF}$，
∴DE=EF=$\frac{12}{\sqrt{2n-1}}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=12$\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}$（cm）；
故答案为：12$\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．